LỜI GIỚI THIỆU CỦA TÁC GIẢ
Waclaw Sierpinski
Ngày nay các nhánh mới phát triển trong toán học thường được đặt tên theo những cách gọi truyền thống đã trở nên quen thuộc trước đó. Tuy nhiên những tên gọi như vậy nhiều khi không thực sự cho biết một cách chính xác sự phát triển cũng như các chủ đề mà nó đề cập tới. Điều này cũng xảy ra với lý thuyết của các số. Lý thuyết của các số (cùng với những sự liên hệ với các ngành khoa học khác của nó) là một lĩnh vực chứa đựng những chủ đề và phương pháp có vị trí đặc biệt trong rất nhiều nhánh toán học khác nhau.
Tên gọi Lý thuyết sơ cấp của các số phù hợp với một lý thuyết đại cương nghiên cứu về các số và các dạng mở rộng của nó. Chẳng hạn bắt đàu từ số nguyên, ta có các số hữu tỷ, số thực và số phức. Từ các loại số khác nhau ta xây dựng những phép toán (các toán tử) trên các số đó. Tuy nhiên đây đúng ra là số học cao cấp. Nguyên nhân là vì Lý thuyết của các số thường chỉ liên quan tới tính chất của các số nguyên trong khi số học cao cấp sừ dụng tới cả các lý thuyết đại số về các toán tử. Tất nhiên lý thuyết của các số sẽ không chỉ xoay quanh các số nguyên vì trên thực tế có rất nhiều tính chất của các số nguyên được phát hiện và chứng minh dựa trên sự tìm hiểu các số vô tỷ và các số phức. Hơn nữa đã có rất nhiều các định lý về các số nguyên có thể được chứng minh theo cách đơn giản nếu ta không chỉ sử dụng các số vô tỷ và các số phức mà còn sừ dụng tới giải tích và lý thuyết vê các hàm. Lý thuyết của các số với sự kết hợp với một số chủ đề của giải tích hình thành nên bộ môn sô học giải tích. Bộ môn này có sự khác biệt với Lý thuyết sa cấp của các số ở điểm căn bản là nó sử dụng tới khái niệm giới hạn. Tuy vậy mặc dù chủ đề chính của cuốn sách này là Lý thuyết sơ cấp của các số nhưng vẫn sẽ có một số ứng dụng của số học giải tích được xét tới.
Cuốn sách được xây dựng dựa trên hai cuốn sách khác của tôi trong những năm 1914 và 1959 là
- Teoria Liczb (Lý thuyết các số), Ấn bản lần thứ nhất, Warszawa 1914; ấn bản lần thứ hai, Warszawa 1925; ấn bản lần thứ ba, Warszawa-Wroclaw 1950 (544 trang)
- Teoría Liczb, Phân II, Warszawa 1959 (487 trang).
Để minh họa cho sự phát triển Lý thuyết của các số trong một thập kỷ vừa qua chỉ cần nhắc lại rằng số nguyên tố lớn nhất được tìm ra vào năm 1950 là số 2127 —1 (số này có 39 chữ số) trong khi ngày nay số nguyên tố lớn nhất đã tìm được là số 211213 —1 (số này có 8376 chừ số). Vào năm 1950 ta mới chỉ biết 12 số hoàn hảo trong khi ngày nay ta đã tìm được 23 số như thế.
Trong cuốn sách này tôi sẽ trình bày rất nhiều kết quả đặc biệt của Lý thuyết sơ cấp của các số đã được công bố trong những năm gần đây bởi các nhà toán học tới từ rất nhiều quốc gia khác nhau.
Tiến sỹ A.Hulanicki là người đã dịch bản thảo cuốn sách sang tiếng Anh. Tiến sỷ A.Schinzel là người đã chuẩn bị phụ lục và thêm vào rất nhiều đề nghị và ghi chú liên quan tới các kết quả được công bố gàn đây. Tiến sỹ A.Makowski là người đọc các chứng minh. Tôi đặc biệt cảm ơn các đồng nghiệp nói trên. Tôi cũng cảm ơn Biên tập viên L.Izertowa tới từ Nhà xuất bản khoa học Ba Lan, người đã chuẩn bị rất nhiều cho bản in của cuốn sách này.
Ba Lan
1963
