Giải Tích 2 – Bùi Xuân Diệu

VTED.net xin gửi tới các bạn sinh viên cuốn sách giải tích tập 2 do TS. BÙI XUÂN DIỆU biên soạn.

Mục lục giải tích 2 gồm :

Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 5
1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 5
1.1 Đường cong trong mặt phẳng R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số . . . . . . . . . . 9
2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 13
2.1 Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Đường cong trong không gian R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Độ cong của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Mặt cong trong không gian R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 91
1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 94
1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 98
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3 Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3 Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.3 Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 139
Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.1 Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.1 Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.4 Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.6 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 161
Chương 6 . Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2 Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.4 Trường thế – hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170