VTED.net xin gửi tới các bạn sinh viên cuốn sách giải tích tập 3 do TS. BÙI XUÂN DIỆU biên soạn.
Mục lục giải tích 3 gồm :
Chương 1 . Chuỗi (11LT+11BT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Các tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Phép nhân chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Khi nào dùng tiêu chuẩn nào? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Ví dụ về chuỗi bán hội tụ không phải là chuỗi đan dấu . . . . . . . . 35
3.7 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Chuỗi hàm số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Một số chú ý về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1 Các tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Ứng dụng của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ bất kỳ . . . . . . . . . . . . . 78
6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì . . . . . . . . . 80
6.6 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Chương 2 . Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) . . . . . . . . . . . . . . 85
1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2 Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 Phương trình đưa được về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . 91
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.8 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.9 Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.10 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng số . . . . . . . 108
3.5 PTVP tuyến tính đưa được về PTVP tuyến tính với hệ số hằng . . . . 112
3.6 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7 Phương trình Chebysev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ
số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.9 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4 Đại cương về hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1 Các loại nghiệm của hệ PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Mối liên hệ giữa PTVP cấp n và hệ n PTVP cấp một . . . . . . . . . . 119
5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1 Hệ PTVP TT cấp một thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2 Hệ PTVP TT cấp một không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 PP biến thiên hằng số giải hệ PTVP TT cấp một . . . . . . . . . . . . 123
6 Hệ PTVP TT thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Phương pháp đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Phương pháp khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Chương 3 . Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + 7 BT) . . . . . . . . . . . 131
1 Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1 Phép biến đổi của đạo hàm, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu . . . 137
2.2 Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) có dạng f(t) = tg(t) . . . . . . 139
2.3 Phép biến đổi Laplace của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Phép biến đổi Laplace ngược của các hàm phân thức . . . . . . . . . . 142
4 Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1 Tích chập – Phép biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Vi phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Tích phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Phép biến đổi Laplace của hàm Heaviside và tịnh tiến trên trục . . . 150
4.5 Bài toán giá trị ban đầu đối với PTVP có hệ số là hàm số . . . . . . . 152
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chương A . Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số bất kì . . . . . . . . . . . . . 155
Chương B . Một số tiêu chuẩn hội tụ hay – độc đáo – dễ chứng minh . . . . . 163
Chương C . Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh hơn d’Alembert và Cauchy. . . . 167
1 lim n→+∞
an+1
an
= 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn d’Alembert . . . . . . 167
2 lim n→+∞
√n an = 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . 170
Xem thêm tập sách giải tích do KaczkorNowak biên soạn tại đây :
