• TOÁN 10
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 10
    • Giáo án Toán 10
    • Chuyên đề toán 10
  • TOÁN 11
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 11
    • Giáo án Toán 11
    • Chuyên đề toán 11
  • TOÁN 12
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 12
    • Chuyên đề toán 12
    • Giáo án Toán 12
  • TÀI LIỆU
    • Sách Giáo Khoa
    • Công Thức Toán
    • Tài Liệu Ôn Thi HSG
    • Tài liệu ôn thi ĐGNL
    • Tài Liệu Ôn Thi TN THPT
    • Tài Liệu Máy Tính Casio
  • ĐỀ THI
    • Đề ôn thi THPT
    • Đề thi HSG THPT
    • Đề thi thử TN THPT
    • Đề thi ĐGNL & ĐGTD
    • Đề Thi TN THPT Quốc Gia
  • BLOG TỔNG HỢP
    • Blog Tin Tức
    • Blog Toán học
    • Tạp chí Epsilon
    • Tài liệu ngữ văn
  • THI ONLINE
    • Thi thử TN THPT
No Result
View All Result
No Result
View All Result
Home Blog Tổng Hợp Blog Toán học

Hệ thống số thập phân là một phát minh kỳ diệu. Tổ tiên chúng ta đã sáng tạo ra nó như thế nào?

vted by vted
01/02/2022
in Blog Toán học
Reading Time: 15 mins read
0
Share on FacebookShare on TelegramShare on QR Code

Hệ thập phân gồm 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rất phổ biến trong xã hội của chúng ta ngày nay. 10 chữ số và cách ghi số theo-vị-trí có nguồn gốc từ đâu và được hoàn thiện như thế nào?

Ngày nay, các biểu tượng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 phổ biến đến mức chúng ta hiếm khi biết ơn hệ thống chữ số này thật sự đặc biệt như thế nào. 15 thế kỷ phát triển đã trao cho chúng ta một phương pháp cô đọng để viết ra những con số rất lớn. Các chữ số của chúng ta có nguồn gốc từ hệ thống của các học giả Hindu ở Ấn Độ vào khoảng giữa thiên niên kỷ đầu tiên sau công nguyên. Hệ thống này được người Ả rập tiếp nhận và cuối cùng chuyển giao nó tới châu Âu vào thể kỷ 12. Vì lý do đó, các chữ số này còn được gọi là các chữ số Ả rập-Hindu.

số thập phân
(Ảnh: Pixabay)

Chìa khóa cho sự thành công của hệ thống này là tính chất theo vị trí của nó. Chúng ta có tổng cộng mười ký hiệu để sử dụng, nhưng chắc chắn là chúng ta không bị giới hạn trong việc chỉ viết ra mười giá trị khác nhau. Một trong những điều đầu tiên mà tất cả chúng ta học ở trường là các con số được sắp xếp theo cột. Đọc từ phải sang trái, đầu tiên chúng ta có cột hàng đơn vị, cột hàng chục, cột hàng trăm, cột hàng ngàn và cứ thế. Vấn đề không chỉ là các ký hiệu chúng ta viết ra mà còn là vị trí chúng ta đặt chúng trong cách sắp xếp này. Đây là cái mà chúng ta gọi là một hệ thống số theo vị trí, giá trị của một chữ số tùy theo vị trí của nó (positional values).

Cách biểu diễn số theo-vị-trí phổ biến
Cách biểu diễn số theo-vị-trí phổ biến ngày nay (Ảnh: Virginia Tech)

Vì sao hệ thống số theo vị trí lại xuất hiện từ thời nguyên thủy?

Khởi nguồn của việc dùng chữ số

Các hệ thống số sớm nhất phát sinh từ nhu cầu đếm của con người. Hệ thống cơ bản và ban sơ nhất trong tất cả những hệ thống đó là các dấu vạch (tally system), trong đó mỗi vật được đếm sẽ được ghi nhận bằng một dấu vạch trên trang giấy. Khi chúng ta đếm tới một con số lớn tương đối, trang giấy của chúng ta kết thúc bằng một tập hợp dài dằng dặc các dấu vạch không dễ nhìn cho lắm. Do đó, tổ tiên chúng ta bắt đầu các bước bổ sung như vạch một đường chéo qua bốn dấu thẳng đứng để tượng trưng cho số năm, và điều đó giải thích cho một ký hiệu số mới trong hệ thống của chúng ta.

con số
(Ảnh: Quora.com)

Giờ đây, nhìn lướt qua, ta thấy những con số mới có “ngoại hình” dễ coi hơn nhiều. Nhưng đến các số lớn hơn và lớn hơn nữa, một lần nữa chúng ta lại thấy các ký hiệu trở nên cồng kềnh. Một giải pháp cho vấn đề này là đưa thêm các ký hiệu mới. Đó chính xác là cách mà các hệ thống số được phát triển về mặt lịch sử.

Lấy ví dụ một hệ thống gồm các ký hiệu số khác nhau là hệ thống của người Babylon cổ. Hình 1 là bốn ký hiệu số đầu tiên:

Chữ số của người Babylon
Chữ số của người Babylon

Hệ thống này ban đầu được phát triển bởi người Sumer vào khoảng 3500 năm trước công nguyên nhưng nó luôn gắn liền với người Babylon.

(Người Sumer định cư ở phía Bắc Mesopotamia nằm giữa sông Tigris và Euphrates, ngày nay là Iraq)

Số 100 được biểu diễn bằng một ký hiệu duy nhất, một sự cải tiến lớn so với hệ thống dấu vạch ban đầu. Những con số lớn có hình dạng dấu vạch rất đáng sợ giờ đây có thể được minh họa một cách ngắn gọn hơn. Ví dụ số 3964 được viết như sau:

 biểu diễn bằng chữ số Babylon
Số 3964 được biểu diễn bằng chữ số Babylon

Người Babylon không quan tâm đến thứ tự các ký hiệu nhưng họ có khuynh hướng dùng một cách sắp xếp hợp lý: các ký hiệu giống nhau được nhóm lại và các nhóm được sắp xếp theo trật tự tăng dần, đọc từ phải sang trái.

Ngược lại với các chữ số Ả rập-Hindu, hệ thống số Babylon không tuân theo vị trí. Hình 3 và 4 là những ví dụ khác về những hệ thống số không theo vị trí. Hình 3 là chữ số của người Ai Cập, hình 4 là chữ số Minoan Linear B, loại chữ được cho là cổ nhất của người Hy Lạp:

Chữ số Ai Cập
Chữ số Ai Cập năm 3000 trước công nguyên

Các hệ số trong hình có vẻ dễ nhìn hơn trong mắt chúng ta so với hệ thống Babylon. Lý do có thể là vì họ chỉ dùng một ký hiệu cho mỗi số 100 và 1000, không như các ký hiệu phức tạp của người Babylon.

Dù vậy, tiếp theo chúng ta hãy tập trung vào hệ thống Babylon vì người Babylon sẽ tiếp tục giới thiệu một phát minh không bao giờ xảy ra với người Ai Cập hay người Hy Lạp (như chúng ta biết cho tới nay…!).

Hệ thống số theo vị trí của người Babylon 

Người ta cho là người Babylon đã nhận ra những thiếu sót của hệ thống số không theo vị trí của họ. Họ có thể viết ra bất kỳ con số nào cho tới 9999 bằng các ký hiệu trong hình 1 nhưng không thể viết được số lớn hơn. Nếu họ muốn viết các số lớn tăng dần nữa, họ buộc phải đưa thêm nhiều ký hiệu mới. Điều này dẫn họ tới hai vấn đề: cách ký hiệu ngày càng công kềnh và cần phải nhớ nhiều ký hiệu.

Người Babylon cần một phương pháp khác để viết các số lớn.

Và phương pháp mới đó dĩ nhiên là hệ thống số theo vị trí.

Đầu tiên, họ loại bỏ tất cả ký hiệu ngoại trừ một và mười. Tiếp đến, họ sắp xếp các kết hợp những ký hiệu số này theo cột, đọc từ phải qua trái như chúng ta ngày nay. Tuy nhiên, hệ thống số Babylon không giống của chúng ta vì không phải là hệ thập phân mà là hệ lục thập phân (60), các cột kế tiếp nhau biểu diễn lũy thừa 60 thay vì 10. Chúng ta đã thừa kế hệ thống này để theo dõi thời gian và đo lường các góc, ví dụ 60 giây trong một phút.

Ancient Origins
Ảnh: Ancient Origins

Trong ví dụ sau, chúng ta sẽ vẽ thêm các đường biên quanh các cột cho rõ ràng (dù người Babylon không làm điều này). Cột có giá trị thấp nhất là cột ngoài cùng bên phải có bất kỳ con số nào lên tới 59-phiên bản lục thập phân của một cột đơn vị. Bất kỳ con số nào ít hơn hay bằng 59 cũng sẽ xuất hiện trong hệ thống này, ví dụ số 42 bên dưới.

số của người babylon

Để đi xa hơn 59, chúng ta phải thêm một cột khác vào bên trái, cột này biểu diễn bội số của 60. Ví dụ số 60 của người Babylon:

số của người babylon

Con số này biểu diễn (1 x 60) + (0 x 1) = 60 (ký hiệu trong cột bên phải chỉ ra một cột trống, chúng ta sẽ quay lại nó ngay).

Còn chuỗi ký hiệu này

số của người babylon

biểu diễn con số (11 x 60) + (24 x 1) = 684.

Với một cột, giới hạn của chúng ta là 59, với hai cột ta có thể viết các số lớn tới (59 x 60) + (59 x 1) = 3599. Để đi xa hơn, chúng ta chỉ cần thêm các cột vào bên trái biểu diễn các bội số của lũy thừa cao hơn của 60 (602, 603…). Nếu chúng ta thêm cột thứ ba thì giá trị được nhập vào biểu diễn bội của 3600 = 60 x 60, và cột thứ tư biểu diễn bội của 603 = 216.000.

Với cách sắp xếp 3 cột, chúng ta có thể viết ra các con số lớn đến (59 x 3600) + (59 x 60) + (59 x 1) = 215.999. Trong thiết kế mới này, con số yêu thích của chúng ta 3964 sẽ trở thành:

số của người babylon

bởi vì 3964 = (1 x 3600) + (6 x 60) + (4 x 1).

Dễ thấy rằng, chúng ta có thể mở rộng hệ thống này tới vô hạn chỉ bằng cách thêm nhiều cột vào bên trái. Chúng ta không còn cần thêm ký hiệu mới.

Có một ít điều nên nói về ký hiệu “-” được dùng để chỉ một cột trống trong cách biểu diễn hệ đếm 60.

Đầu tiên, người Babylon không có ký hiệu nào như thế. Họ chừa một chỗ trống để biểu thị một cột trống hoặc là họ không đánh dấu cột. Điều này làm cho các chữ số của họ trở nên mơ hồ.

Ví dụ, biểu tượng này

số của người babylon

có thể ký hiệu cho một trong các số sau

(21 × 60) + (12 × 1) = 1.272

hoặc (21 × 3.600) + (12 × 1) = 75.612

hoặc (21 × 3.600) + (12 × 60) = 76.320

…

Tuy nhiên, dường như người Babylon không bao giờ gặp vấn đề ở đây bởi vì ý nghĩa con số luôn rõ ràng nhờ ngữ cảnh. Mãi cho tới khi người Ba Tư kế thừa hệ số Babylon vào khoảng năm 400 trước công nguyên thì mới có thêm một ký hiệu đánh dấu một cột để trống. Đó là ký hiệu

số của người babylon

do đó, số 216.001 được viết thành

số của người babylon

Sự chính xác của hệ thập phân

So với các hệ thống không theo vị trí, các hệ thống theo vị trí tương đối hiếm trong lịch sử. Tuy nhiên, lợi ích của việc tiếp nhận một hệ thống số theo vị trí rất rõ ràng: chúng chính xác hơn và dễ sử dụng hơn. Hệ thống của chính chúng ta đưa sự chính xác này tới tột cùng: thay vì dùng kết hợp các chữ số tạo nên giá trị ở mỗi vị trí, chúng ta chỉ có đúng một ký hiệu cho mỗi vị trí. Dễ thấy vì sao người Babylon không dùng cách này cho chính họ: tổng cộng họ sẽ cần tới 60 ký hiệu, vì vậy hệ thống số của họ sẽ khó nhớ.

Hệ thống “một ký hiệu mỗi vị trí” của chúng ta có nghĩa là các chữ số của chúng ta chính xác tới hết mức mà chúng có thể. Hãy so sánh cách viết 9.876.543.210 của chúng ta với cách của người Babylon:

số của người babylon

Tuy vậy, các chữ số Ả rập-Hindu cũng có nhược điểm của chúng.

Tất cả các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đều là các ký hiệu trừu tượng vốn không có hoặc rất ít liên quan tới các số lượng mà chúng biểu diễn, khác với sự liên tưởng mà chúng ta áp đặt lên chúng. Cách viết số “hai” kiểu Babylon dễ kết nối với số lượng hai hơn là ký hiệu 2 về mặt trực quan. Để làm số học trong các chữ số chúng ta, chúng ta phải quen với các quy tắc phép toán của chúng.

Chúng ta phải biết khi thêm ký hiệu 1 vào ký hiệu 2, chúng ta được ký hiệu 3 v.v… Chúng ta cần biết bảng cửu chương. Chúng ta cần biết khi chúng ta thêm 1 vào 9 trong một cột cụ thể thì chúng ta cần nhập 0 vào cột đó và thêm 1 vào cột kế bên bên trái.

phép cộng

Khi được liệt kê như thế này, các quy tắc bắt đầu có vẻ phức tạp đối với những người quan sát bên ngoài không có sẵn kiến thức về hệ thống chữ số của chúng ta.

Dẫu sao thì, sau những lời khen ngợi sự kỳ diệu của các hệ thống số theo vị trí, tôi (tác giả Christopher) không muốn làm giảm giá trị của các chữ số của chúng ta. Sự thật là chúng ta thấy chúng dễ dùng, dù đó là vì chúng ta đã được hướng dẫn dùng chúng từ tuổi nhỏ, hay là vì chúng vốn có tính dễ dùng, ít nhất là khi xem xét từ quan điểm thực dụng.

Trong thực tế, các chữ số này quá phổ biến (phổ biến hơn nhiều so với sự phổ biến mà các chữ số Babylon đã từng có), đến mức mà việc thay đổi chúng là điều cực kỳ khó với chúng ta, kể cả khi chúng ta muốn. Giống như là chúng đã có sẵn ở đây!

Vì vậy, lần kế tiếp mà bạn kiểm tra số dư tài khoản ngân hàng hay gọi đến một số điện thoại nào đó, hãy dành 1 giây để suy nghĩ về hàng thế kỷ phát triển đã qua đi để sản sinh ra những ký hiệu vô giá.

Xem thêm một số bài viết khác về toán học: Tại Đây

Related Posts

460 BÀI TOÁN VUI LUYỆN TRÍ THÔNG MINH
Blog Toán học

460 BÀI TOÁN VUI LUYỆN TRÍ THÔNG MINH

04/06/2022
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Blog Toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

09/04/2022
CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC
Blog Toán học

CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC

07/04/2022
CÁC BÀI TẬP VÀ CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Blog Toán học

CÁC BÀI TẬP VÀ CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

07/04/2022
TOÁN HỌC SIÊU HAY
Blog Toán học

TOÁN HỌC SIÊU HAY

22/03/2022
Lý thuyết sơ cấp của các số
Blog Toán học

Lý thuyết sơ cấp của các số

22/03/2022

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Tìm kiếm

No Result
View All Result

Bài Viết Mới Nhất

Đề thi thử Toán tốt nghiệp THPT 2023 lần 1 trường Đinh Tiên Hoàng – Ninh Bình

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT vòng tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long

Đề chọn HSG trường Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An

Bài giảng phương pháp trải hình trên mặt phẳng – Trần Thị Hiền

Hệ thống bài tập trắc nghiệm xác suất

ĐH Bách Khoa Hà Nội công bố dạng câu hỏi và ví dụ mẫu về đề thi Đánh giá tư duy năm 2023

Bộ GD công bố dự thảo quy chế thi tốt nghiệp THPT 2023

Toàn văn dự thảo Thông tư sửa đổi, bổ sung Quy chế thi tốt nghiệp THPT

Đề kiểm tra kiến thức Toán 12 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội

Đề chọn đội tuyển HSG Toán 10 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên Bến Tre

Load More

About Us

VTED.net là một thư viện online nơi bạn có thể tải xuống các tài liệu, đề thi, sách... thuộc các môn học của khối lớp trung học hấp dẫn, nổi bật với các loại file pdf, word, ... miễn phí.

Recent Posts

  • Đề thi thử Toán tốt nghiệp THPT 2023 lần 1 trường Đinh Tiên Hoàng – Ninh Bình
  • Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT vòng tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long
  • Đề chọn HSG trường Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
  • Bài giảng phương pháp trải hình trên mặt phẳng – Trần Thị Hiền

Fanpage

Tài liệu Toán THPT
  • Giới Thiệu
  • Liên Hệ
  • Bản Quyền

Copyright © 2023 | Bản quyền thuộc về VTED.net

No Result
View All Result
  • TOÁN 10
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 10
    • Giáo án Toán 10
    • Chuyên đề toán 10
  • TOÁN 11
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 11
    • Giáo án Toán 11
    • Chuyên đề toán 11
  • TOÁN 12
    • Đề kiểm tra
    • Đề thi giữa HK1
    • Đề thi HK1
    • Đề thi giữa HK2
    • Đề thi HK2
    • Đề thi khảo sát
    • Tài liệu học tập
    • Bài tập toán 12
    • Chuyên đề toán 12
    • Giáo án Toán 12
  • TÀI LIỆU
    • Sách Giáo Khoa
    • Công Thức Toán
    • Tài Liệu Ôn Thi HSG
    • Tài liệu ôn thi ĐGNL
    • Tài Liệu Ôn Thi TN THPT
    • Tài Liệu Máy Tính Casio
  • ĐỀ THI
    • Đề ôn thi THPT
    • Đề thi HSG THPT
    • Đề thi thử TN THPT
    • Đề thi ĐGNL & ĐGTD
    • Đề Thi TN THPT Quốc Gia
  • BLOG TỔNG HỢP
    • Blog Tin Tức
    • Blog Toán học
    • Tạp chí Epsilon
    • Tài liệu ngữ văn
  • THI ONLINE
    • Thi thử TN THPT

Copyright © 2023 | Bản quyền thuộc về VTED.net